makalet
Çakıl Taşından Bilgisayara…a + ar + ar 2 + … + ar n-1 = ar n –a / r-1
Eşitliği her n doğal sayısı için doğrudur. Bu toplama Geometrik Seri adı verilir. Buna göre
1 + 2 + 2 2 + … + 2 63 = 2 64 – 1
= 18 446 744 073 709 551 615 dir .
Soğuk ve sevimsiz bir giriş…
Acaba matematik anlatmaya her seviyede böyle mi başlıyoruz?
Bu yazımızda geçmişten günümüze bir köprü kurarak matematiği konuşmaya çalışacağız.
Matematik bir düşünce disiplinidir. İyiyi, doğruyu ve güzeli düşünebilme sanatıdır. Dolayısıyla insanın olduğu her yerde vardır ve serüvenine insanlıkla başlamıştır. İnsanoğlu düşünebilme melekesini yitirmediği sürece devam edecektir.
Her bilim dalının kolay ve zor tarafları olduğu gibi matematiğin de kolay, zevkli taraflarının yanında, zor yanları da vardır. Çoğu insana zor gelen matematik az sayıda kişinin sahip olduğu garip bir beceri olmamalıdır. Ne yazık ki matematik hayatın ilk yıllarından itibaren hem öğrenci hem de veli için bir kâbus haline gelmiştir. Matematikten korkulmasının esas nedeni matematiğin konusu ile insanın zihinsel gelişimi süreci arasındaki uyumsuzluktur. Başka bir ifadeyle okul hayatının ilk yıllarında verilen matematiği kavrayabilecek zihinsel olgunluğa erişilememiş olmasıdır. Çocuk yaşta verilmemesi gerekenler verilerek çocukta bir nefretin oluşmasına zemin hazırlanmaktadır. Bu durum; zor kavrama, anlayamama gibi olumsuzlukları ortaya çıkararak; matematikten soğumaya, ilgisizliğe sebep olmakta ve bu da şartlı bir tepki halinde ömür boyu sürüp gidebilmektedir. Başarısızlık hissi, yapamama gibi aşağılık duygusu benliğe işleyebilmekte ve ömür boyu sırtta taşınan bir kambur haline gelebilmektedir. Kişiliğin hayatın ilk yıllarında oluşmaya başladığı dikkate alınırsa bu ilk yıllarda yapılan hataların kişinin hayatını ipotek altına alması kaçınılmazdır.
Matematiği öğrenciye cazip hale getirmek için; soyut kavramlar elden geldiğince somut örneklerle açıklanmalıdır. Mesela; reel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.
1 + 2 = 2 + 1 olması her yerde kullanılamayacak önemli bir işlemdir.
Çorap + Ayakkabı giymek = Ayakkabı + Çorap giymek olamaz. Matematikteki doğrular yerli yerinde kullanılmak zorundadır.
İnsanların zihninde ilk oluşan matematiksel gerçekler “bir” ve “çok” kavramlarını birbirinden ayırmak olmuştur. Bugün saymanın temel esprisi olan eşleme kuralı, ilkel insan diye nitelenen (!) ilk insan topluluklarında da vardı. Sürüsünü otlatmaya götüren o günkü insan, ağıldan çıkan her hayvan için kenara bir taş koyuyordu. Akşam dönüşte ağıla giren her hayvan için birer taş ayırıyordu. Eğer taşlarda bir fazlalık varsa biliyordu ki hayvanlarından eksilen olmuştu. Yani hayvanlar kümesi ile taşlar kümesini eşleştirerek, bir anlamda sayma işlemini yapıyordu. Latince “Calcul, Calculus” (hesap) kelimesi de zaten “çakıl taşı” anlamına gelmiyor muydu?
İnsan, karşılaştığı güçlüklerden sıyrılmak için eline geçen her imkânı değerlendirmeye çalışmış, yeri geldiğinde kuşun iki kanadını, hayvanın dört ayağını, elinin beş parmağını ve el ve ayaktaki toplam yirmi parmağı kullanmasını bilmiştir.
İnsanoğlu sayma kavramından tamamen soyut bir kavram olan sayı kavramına geçmiştir. Sayı soyut bir kavram olup tabiatta bir karşılığı yoktur. Beş duyumuzla hissedemeyiz. Sadece zihnimizde canlandırabiliriz. Mesela tabiatta 2 yoktur, ancak 2 kalem, 2 defter vs vardır. Somut kavramlardan soyut kavramlara geçmek çok önemli, zekânın gelişmesiyle yakından ilgilidir.
Matematik, antik Yunancada “Matesis” “ben bilirim” kelimesinden türemiştir. Olabildiğince “ben bilirim”, “benim dediğim doğrudur” diklenmesinden kaçınılarak muhatabınızın da problemin çözümü için zihni sürece katılması temin edilmelidir.
Hintli bir derviş Hükümdara bir ders vermek ister. Ne kadar güçlü olursa olsun, tebaası ve askerleri olmadan bir hiç olduğunu göstermek ister. Hükümdara 8'e 8 gözlü bir dama tahtası üzerinde 8 taşla oynanan satranca benzer oyunu gösterir. Hükümdar oyunu çok beğenmiştir ve dervişi ödüllendirmek ister, “ne dilersen dile benden” der.
“Hükümdarım şu oyun oynadığımız tahtanın üzerini dolduracak kadar buğday benim için yeterli olur, birinci göze 1 tane, ikinci göze 2 tane, üçüncü göze 4 tane, dördüncü göze 8 tane… Yani her göze bir öncekinden iki kat fazla buğday tanesi.” Kral bu mütevazı isteğe içinden kızmıştır ama belli etmek istemez, “madem istediğin bu; adamlarım hava kararmadan istediğin buğday çuvallarını getirir” der. Akşam olmuş, Kral vezirine ödülün verilip verilmediğini sormuş. “Sarayın matematikçileri verilecek buğdayların sayısını belirlemekteler” cevabını almış. Yatmadan sormuş işlemin bitmediği cevabını almış, sabah olduğunda emrinin yerine getirilemediğini öğrenince sinirlenerek matematikçilere yol vermiş. Danışmanlarından birisi, “bu adamları göndermekte haklıydınız efendim bunlar eski yöntemler kullanıyorlardı, usta matematikçiler getirelim onlar yeni metotlarla bu işi çözerler” telkininde bulunmuş.
Usta matematikçiler çağrılmış ve içlerinden birisi; “senden istenilen buğday miktarı o kadar fazla ki ülkedeki bütün ambarlardaki buğdaylar yetişmeyeceği gibi komşu krallıklardakiler de getirilse onlarda yetmez. Bu ödülü mutlaka vermek istiyorsan nehirleri, gölleri, okyanusları kurutmakla dünyanın dağlarını, buzullarını eritmekle her yeri buğday tarlası yapmakla işe başlayıp bu yerleri 73 kere ekmen gerek. Bu miktardaki buğdayları koymak içinde 12 trilyon 3 milyar m 3 hacminde bir depo gerekir; bunun içinde 5 m genişliğinde, 10 m yüksekliğinde ve 300 milyon km uzunluğunda (yer ile güneş arasındaki mesafenin 2 katı) bir ambar inşa etmen gerekir. Senin ülkende geleneksel olarak kullanılan sayı tanımlama sembolleri de yeterli değil” diyerek yeni sembollere ihtiyaç olduğunu ve hesabın detaylarını hükümdara anlatır. “Birinci göze 1 tane, ikinci göze 2 tane, üçüncü göze 4 (yani 2 2 ) tane, dördüncü göze 8 (yani 2 3 ) tane koyman gerekecek, bu miktar altmış dördüncü göze gelince 2 63 olacak” demiş. Dolayısıyla istenilen miktar bu 64 sayının toplamı kadardır, yani
1 + 2 + 2 2 + … + 2 63 = 18 446 744 073 709 551 615 dir.
Çok etkilenen hükümdar; “dervişin oyunu ne kadar usta ise, isteği de o kadar kurnazca. Şimdi bana söyle bilge adam, bu borcu ödemek için ne yapmalıyım?” demiş.
“Bu kurnaz adamı kendi tuzağına düşür! Gelsin senden istediği buğdayları bir bir saysın. Hiç durmadan gece gündüz saniyede 1 tane saysa, altı ayda ancak bir metre küp , on yılda yirmi metre küp, ömrünün geri kalan kısmında da çok az bir miktar buğday sayar” demiş.
Hint uygarlığına atfedilen bu hikâye, tamamen bir efsane olsa bile matematiksel gerçeğe uygundur. Gauss'un meşhur işlemini 8 yaşında yapmış olması bir hakikattir.
Matematik bir düşünce disiplini olduğundan bütün bilimler için bir temel teşkil eder. Fermat (1601–1665) ünlü Fransız matematikçisidir. Ama mesleği hukuktur. İnsanlık tarihi kadar eski olan bu disiplinin sistematik bir biçimde incelenmesi yaklaşık 2500 yıl öncesinden başlar. Sonsuz sayıda asal sayı olduğu Euclid (MÖ 300) tarafından ispatlanmış olup, halen bu güzel ispat kullanılmaktadır.
Eski medeniyetlerden Mayalar, Aztekler beş ve yirmi tabanını; Sümerler, Babilliler hesaplarında altmışlık tabanı kullanıyorlardı. Şimdi bilgisayarlarda sekizlik ve on altılık tabanların kullanıldığı bugünün bir gerçeği değil midir?
Günümüzde matematiğin altmıştan fazla çalışma alanında, 1500 civarındaki matematik dergisinde, yılda ortalama 25.000 makale yayınlanmaktadır. Bu yapılan çalışmaların ileride ne gibi buluşlara temel teşkil edeceğini ise zaman gösterecektir.